První písemná zmínka o obci se zachovala z roku 1247. Obec se v tomto dokumentu vzpomíná jako "Bosk", majetek pouŞijte z rodu Abovcov, vznikla však dříve. Založili ji čtyři německé a čtyři slovenské rodiny. Svědčí o tom původní příjmení prvních obyvatel obce (Németh), i názvy lokalit v obci (např. "Bangord").
V roce 1322 Bašku vlastnili zemané Dominik a Jan, synové Matouše, syna poušijte z Bašky. K vlastnictví došli vzpomínání majitelé Bašky pravděpodobně v časech feudální anarchie, když vymřel rod Arpádovců.
V roce 1427 obec patřila Frankovi ze Šemša a měla 10 port (Porta je termín pro bránu, která vedla na cestu, s tím, že za bránou se nacházela usedlost, čili kompletní hospodářský dvůr s více domy a účelovými budovami.). V roce 1447 se stala majetkem města Košice, které Bašku odkoupilo do svého feudálního vlastnictví od původního majitele, místního zemana a kapitána Spišského hradu Petra. Podle myslavskej suplikácie z roku 1580 se tak Baška stala součástí dřevařský-důlního podnikatelského zázemí Košic.
Vzhledem k relativně nepříznivým terénním podmínkám byla Baška ve středověku osídlena jen slabší. V roce 1559 zde žilo 16 rodin, v roce 1715 měla 2 domácnosti, v roce 1828 měla 27 domů a 198 obyvatel, v roce 1869 zde žilo 188 obyvatel. Později se jejich počet pohyboval mezi 200 až 300. V současnosti má obec 315 obyvatel.